Тисячі шляхів ведуть до помилки, до істини — тільки один. Ж.Ж. Руссо

пʼятниця, 11 листопада 2016 р.

Раціональні числа

Раціональні числа - інформація для учнів

Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з'явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації.
Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив'язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів. Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов'язаного з перерахунком конкретних предметів) з'являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів.
Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов'язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.
Введення від'ємних чисел було викликано розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи рішення арифметичних завдань незалежно від їхнього конкретного змісту і вихідних числових даних. Від'ємні числа систематично вживалися індійськими математиками ще у VI-XI століттях. У європейській науці від'ємні числа остаточно ввійшли у вжиток лише після робіт Р. Декарта в XVII столітті, який дав їх геометричне тлумачення.
Подальше розширення поняття числа відбулося в XVII столітті в період зародження сучасної математики, коли виникла необхідність ввести чітке визначення поняття числа. Таке визначення було дано одним з основоположників математичного аналізу І. Ньютоном у «Загальній арифметиці»:
«Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої нами за одиницю».
Це формулювання дає єдине визначення дійсного числа, як раціонального, так і ірраціонального. (Про існування несумірних відрізків, відношення яких є число ірраціональне, було відомо ще вченим Стародавньої Греції.)
Надалі, у 70-х роках XIX століття сувора теорія дійсного числа була розвинена в роботах Р. ДедекіндаГ. Кантора та К. Вейєрштрасса.
Джерело: А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука»